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groups

notation

Zn={0,1,2,...,n1}

definition

一个群的定义实际上就是集合加上一个二元运算。并且这个二元运算可以复合,他讲集合G中的两个元素映射到G中唯一的另外一个元素。如果这个二元运算具有以下性质,那么我们就称(G,)构成了一个群。

  • 二元运算的复合是结合的(ab)c=a(bc)

  • G中有单位元e,对于aG, 都有 ae=ea=a

  • G中每个元素都有逆元,用a1记号表示 aa1=e

remark: - 群的定义中交换性不是必须的,但是如果二元运算满足交换性,那么我们称这个群叫做abelian group(阿贝尔群),不满足交换性的群叫做nonabelian group(非阿贝尔群) - 反例:若G=Zn, 二元运算定义为余数的乘法,那么这无法构成一个群,这可以通过验证各个元素的逆元发现。

basic properties of groups

  • 单位元唯一
  • 逆元唯一
  • (ab)1=b1a1
  • 一个元素的逆元的逆等于这个元素自身
  • x为未知量,方程ax=b,xa=b的解都是唯一的。进一步,ba=ca意味着b=c 并且 ab=ac意味着b=c这条性质非常重要,可以立马得出左消去律右消去律的正确性。
  • gG,gmgn=gm+n
  • (gm)n=gmn
  • (gh)n=(h1g1)n, if G is abelian, (gh)n=gnhn

subgroups

definition

we define a subgroup H of a group G to be a subset H of G such that when the group operation of G is restricted to H, H is a group in its own right.

some criteria for determining exactly when a subset of G is a subgroup

第一类判断条件

  1. G的单位元在H中

  2. 如果h1,h2H,那么,h1h2H

  3. 如果hH,那么h1H

第二类判断条件

  1. H非空

  2. 如果g,hH,那么gh1H