groups¶
notation¶
definition¶
一个群的定义实际上就是集合加上一个二元运算。并且这个二元运算
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二元运算的复合是结合的:
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G中有单位元e,对于
, 都有 -
G中每个元素都有逆元,用
记号表示
remark:
- 群的定义中交换性不是必须的,但是如果二元运算满足交换性,那么我们称这个群叫做abelian group(阿贝尔群),不满足交换性的群叫做nonabelian group(非阿贝尔群)
- 反例:若
basic properties of groups¶
- 单位元唯一
- 逆元唯一
- 一个元素的逆元的逆等于这个元素自身
- x为未知量,方程
的解都是唯一的。进一步, 意味着 并且 意味着 。这条性质非常重要,可以立马得出左消去律和右消去律的正确性。 -
-
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subgroups¶
definition¶
we define a subgroup H of a group G to be a subset H of G such that when the group operation of G is restricted to H, H is a group in its own right.
some criteria for determining exactly when a subset of G is a subgroup¶
第一类判断条件
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G的单位元在H中
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。 -
第二类判断条件
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H非空
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