groups¶

notation¶

Z_{n} = {0, 1, 2, . . ., n - 1}

definition¶

一个群的定义实际上就是集合加上一个二元运算。并且这个二元运算 $\circ$ 可以复合，他讲集合G中的两个元素映射到G中唯一的另外一个元素。如果这个二元运算 $\circ$ 具有以下性质，那么我们就称 $(G, \circ)$ 构成了一个群。

二元运算的复合是结合的： $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$
G中有单位元e，对于 $\forall a \in G$ , 都有 $a \circ e = e \circ a = a$
G中每个元素都有逆元，用 $a^{- 1}$ 记号表示 $a \circ a^{- 1} = e$

remark： - 群的定义中交换性不是必须的，但是如果二元运算满足交换性，那么我们称这个群叫做abelian group（阿贝尔群），不满足交换性的群叫做nonabelian group（非阿贝尔群） - 反例：若 $G = Z_{n}$ ，二元运算定义为余数的乘法，那么这无法构成一个群，这可以通过验证各个元素的逆元发现。

basic properties of groups¶

单位元唯一
逆元唯一
$(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$
一个元素的逆元的逆等于这个元素自身
x为未知量，方程 $a x = b, x a = b$ 的解都是唯一的。进一步， $b a = c a$ 意味着 $b = c$ 并且 $a b = a c$ 意味着 $b = c$ 。这条性质非常重要，可以立马得出左消去律和右消去律的正确性。
$g \in G, g^{m} g^{n} = g^{m + n}$
$(g^{m})^{n} = g^{m n}$
$(g h)^{n} = (h^{- 1} g^{- 1})^{- n}, if G is abelian, (g h)^{n} = g^{n} h^{n}$

subgroups¶

definition¶

we define a subgroup H of a group G to be a subset H of G such that when the group operation of G is restricted to H, H is a group in its own right.

some criteria for determining exactly when a subset of G is a subgroup¶

第一类判断条件

G的单位元在H中
$如果 h_{1}, h_{2} \in H, 那么, h_{1} h_{2} \in H$ 。
$如果 h \in H, 那么 h^{- 1} \in H$

第二类判断条件

H非空
$如果 g, h \in H, 那么 g h^{- 1} \in H$