groups¶

notation¶

\[ \mathbb{Z}_n = \left\{0, 1, 2, ..., n-1\right\} \]

definition¶

一个群的定义实际上就是集合加上一个二元运算。并且这个二元运算$\circ$可以复合，他讲集合G中的两个元素映射到G中唯一的另外一个元素。如果这个二元运算$\circ$具有以下性质，那么我们就称$(G, \circ)$构成了一个群。

二元运算的复合是结合的： $$ (a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c) $$
G中有单位元e，对于$\forall a \in G$, 都有 $$ a\circ e = e \circ a = a $$
G中每个元素都有逆元，用$a^{-1}$记号表示 $$ a\circ a^{-1} = e $$

remark： - 群的定义中交换性不是必须的，但是如果二元运算满足交换性，那么我们称这个群叫做abelian group（阿贝尔群），不满足交换性的群叫做nonabelian group（非阿贝尔群） - 反例：若$G = \mathbb{Z}_n$，二元运算定义为余数的乘法，那么这无法构成一个群，这可以通过验证各个元素的逆元发现。

basic properties of groups¶

单位元唯一
逆元唯一
$(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$
一个元素的逆元的逆等于这个元素自身
x为未知量，方程$ax = b, xa = b$的解都是唯一的。进一步，$ba = ca$意味着$b = c$ 并且 $ab = ac$意味着$b = c$。这条性质非常重要，可以立马得出左消去律和右消去律的正确性。
\[ g\in G, g^mg^n = g^{m+n} \]
\[ (g^m)^n = g^{mn}\]
\[ (gh)^n = (h^{-1}g^{-1})^{-n}, \space \text{if G is abelian},\space (gh)^n = g^nh^n\]

subgroups¶

definition¶

we define a subgroup H of a group G to be a subset H of G such that when the group operation of G is restricted to H, H is a group in its own right.

some criteria for determining exactly when a subset of G is a subgroup¶

第一类判断条件

G的单位元在H中
$\text{如果}h_1, h_2 \in H, \text{那么}, h_1h_2 \in H$。
$\text{如果} h \in H, \text{那么} h^{-1} \in H$

第二类判断条件

H非空
$\text{如果} g,h \in H, \text{那么} gh^{-1} \in H$