probability space¶
field¶
我们这时候将整个线段视为全集,然后十等分中的每一份都是全集的一个子集。我们依赖于这个全集以及我们现有的子集(十等分)得到的
-
全集和空集在这个
field内 -
如果集合A(比如十等分中的某一份)在这个
field内,那么集合A的补集(也就是整根线段中不包含那一份的东西)也在这个 field内 -
对于任何可数个落在这个
field内的全集的子集(这个例子中就是那十等分),我们都要求他们的并落在这个 field内。
当然根据de-morgan以及其他一些性质,我们还可以推导出可数个集合的并也落在这个
generated field¶
对于我们上面提到的例子,我们发现整个
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区间I中的所有单点都被包含在其中(可以用一系列的区间的交逼近那个单点),进而所有的I内部的闭区间也包含在其中(闭区间被分解成开区间和两个端点)
-
由于所有可数开区间序列的交落在其中,那么马上得出所有可数闭区间序列的并也落在其中
-
当然所有可数开区间序列的并落在其中
但是要注意,并非所有I中的子集都落在其中,这一点告诉我们,borel set要比区间I的幂集来的小一些。
还有一点,我们不难发现对于区间I的情况,他的atom应该是单点,但是borel set并非是被这些atoms生成出来的。
将一个闭区间推广到整个
在推广到
sub- -field¶
对于一个系统,我们用某种方式观测得到的
random variables¶
从经典概率论到高等概率论,一个很重要的转变就是关于随机变量的看法。在经典概率论中,我们常常把随机变量看做一个根据一定概率分布得到的取值,但是在以测度论为基础的概率论眼中看来,我们应当把他看做一个函数,他将样本空间中的元素映射到实数上。并且随机变量出现在其分布之前,而非知道了一个分布之后再产生这个随机变量。
随机变量的定义看起来比较复杂(事实上确实如此,我看了好久才大致看懂一点,没办法,只能多看多想)。对于一个定义域为样本空间(全集),值域是实数域的函数f,如果对于一个确定的集合B(这个B要求是R的borel set的任意一个元素),如果f关于这个集合B的原象的集合(我们通常会用符号
由于对于任意的B这一点非常难验证,所以我们有等价的判定方法,具体看课程notes,因为这毕竟是一个判定方法罢了,并非有新的意义,所以此处不再赘述。
对于这个复杂的定义,我认为目前我能窥见的几点意义是:
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我们的最终目的是研究样本空间中的一个事件发生的“概率”,尽管我们还没有定义,而事件可能是各种具象的事物,比如骰子的点数是1、2等,或者从一个箱子里摸出的水果是苹果、香蕉,所以我们将他们映射到实数域上,就跟编码一样哈哈哈,然后就容易分析了。(目前我还没学到测度,说不定学到测度之后就会想回来修改这一段)
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另外一点,对于一个确定的值域,我们要求随机变量关于它的原象必须是可测的,(这里补充一下,对于一个
filed,我们一般用记号 来表示)或者说 可测的,也就是落在 中,根据上面所讲的意义,就是我们的信息足够描述的情况。否则如果超出了 的范围,就意味着我们对这个随机变量的信息太少,无法分析,那么这种东西也就不存在意义了。
field generated by a collection of r.v.s¶
对于一个随机变量,我们希望能够描述他包含的所有信息,就像之前我们用
这里有一点需要多想想的是,我们定义r.v.的时候,就已经依赖于整个样本空间
但是,如果我们的随机变量将所有的事件都映射到1上(这符合定义),由他生成的
这样我们就完成了解释。
remark:关于随机变量的函数复合的问题在课程notes中已经解释的比较清晰,所以本notes中不再赘述